Đề cương ôn tập GIẢI TÍCH I - K57(tổng hợp k56, k55,54)

1.  a) Tìm a? để x=xo là điểm liên tục của hàm số f(x) { ……  khi x < xo

                …… khi x > xo

        ->điều kiện để x=xo là điểm liên tục của hàm số thì :

limx→xo+f(x)=limx→xo-f(x)=f(xo)

Gợi ý : tìm lim không chứa ẩn a trước.

b) VD: cho f(x){ cosxln(x) – cosxln(x + x2) khi x>0
                             a.sinx.arccotgx                 khi x≤0

Giải: Để x=x0 là điểm liên tục của hàm số thì: limx->0+ =limx->0- =f(xo)

Mà ta có limx→0+cosxln(x) – cosxln(x + x2) = lim ln(1/1+x)cosx = 0

=> {limx→xo-a.sinx.arccotgx= -a =0 => a=0 và f(xo)=0 => a=0

=> Kết luận:…

2.          a)Xét tính liên tục của hàm số tại điểm(x0,y0)?

limx→xolimy→yof(x,y)   = limy→yolimx→xof(x,y)   = lim{y→yox→xo  f(x,y)

Nếu lim (2) ≠lim (1) thì KL gián đoạn ngay.

Nếu lim (2) =lim (1) thì xét tiếp lim (3) so với lim (1), nếu lim (3) = lim(1) => liên tục

Lưu ý: xét lim ẩn nào thì ẩn còn lại coi là hằng số.

xét lim(3) thường đặt y=kx (k ∈R), trường hợp đặc biệt xem VD b)

Đề nếu cho f(x0,y0) = hằng số thì xét lim(1) = lim(2) = f(x0,y0).

b)ví dụ 1,2,3 trang 7 Toán Học Cao Cấp 3.

3.          Tìm cực trị hàm 3 ẩn z(x,y)?:  

( Lưu ý lần lượt coi ẩn khác là hằng số rồi đạo hàm)

B1:  tìm z’x ; z’y = … xét { z’x = 0 và z’y =o => các nghiệm (x0,y0).

B2: dựa vào B1 tìm z’’xx ; z’’xy ; z’’yy rồi lần lượt cho =A =B =C.

B3: lập bảng xét điểm cực trị

Mi

A

B

C

∆

nhận xét

Thay các nghiệm (xo,yo) ta sẽ có A B C và ∆= B2 – AC  , nếu:

∆ > 0 điểm không là cực trị

∆ = 0  điểm có thể là cực đại hoặc cực tiểu

∆ < 0 , xét tiếp A >0 : điểm là cực tiểu

          A <0: điểm là cực đại

Vd: z = x2y - 4y +2x

z’x= 2xy + 2  ; z’y= x2  - 4         

giải hệ { z’x=0 và z’y=0  => [x=2x=-2và [y=1/2y=-1/2=> {M1(2;-12) M3(-2;-12) M2(2;12)  M4(-2;12)

ta có {z''xx=2y=Az''xy=2x=Bz''yy=2x=C

bảng xét điểm cực trị

Mi

A

B

C

∆

nhận xét

M1

-1

4

4

20

Không là điểm cực trị

M2

1

4

4

12

Không là điểm cực trị

M3

-1

-4

-4

12

Không là điểm cực trị

M4

1

-4

-4

20

Không là điểm cực trị

4.          a)Tìm Min, Max hàm z(x,y) giới hạn trong miền đóng bị chặn D:

B1: câu dẫn 1…xét z’x và z’y, giải hệ {z'y=0z'x=0=> {y=yox=xo (kết luận thỏa mãn D hay ko)

B2: =>ta có z(x0,y0)= ...  (1)

B3: câu dẫn 2...ta có z=...(theo 1 ẩn) xét z’ẩn =……=0 => ẩn = ẩn0 , tiếp như bước 2 (2)

B4: từ (1)(2) => vậy min z= , max z=

b) cho z= 8x2 + 3y2 + 1 – (2x2 + y2 +1)2 bị giới hạn trong miền đóng D= x2 + y2≤1

Hàm z xác định và liên tục ∀ x,y∈R2 nên đạt max min trong miền đóng D

TXĐ: x2 + y2≤1 (*)

-Ta có z’x = 16x – 2.4x.(2x2 + y2 + 1)  = x(1 – 2x2 – y2)

          z’y = 6y – 2.2y.(2x2 + y2 + 1)   =  y(1 – 4x2 – 2y2)

-giải hệ{z'x=0z'y=0=>[{[y=-12y=-12  x=0 {[x=+12x=-12  y=o (thỏa mãn đk(*))=>ta có{z(0,-12)=z(0,12)=14z(0,0)=0z(12,0)=z(-12,0)=1 (1)

Bây giờ ta xét giá trị của z trên biên miền đóng D

với y2 = 1 - x2 , ∃x∈[-1,1]|∃y∈[-1,1]

hệ  z= x2 – x4

xét z’= 2x -4x3 = 0 => [x=0x=±12 => {z(±12)=14z(0)=0 (2)

KL: từ (1) (2) vậy hàm z đạt min = 0, max = 1 trong miền đóng bị chặn D.

5.          a)Tìm cực trị hàm 1 ẩn y=f(x), làm như khảo sát hàm THPT !

B1:TXĐ:....    sau đó đạo hàm bằng 1 trong 2 cách - Logarit Nepe 2 vế hoặc Đạo hàm.

B2: tìm nghiệm y‘

B3: bảng biến thiên

b)VD: tìm cực trị hàm y=x3x2-2x?

Giải: hàm y xác định và liên tục trên R

y'=3x2-2x+ 2x-233x2-2x=3x2-8x-33x2-2x

xét y'=0=>[x=-13x=3

            -> bảng biến thiên:

Vậy hàm y đạt cực đại tại x= -1/3 , đạt cực tiểu tại x= 3.

6.          a)Cho PT …. Xác định hàm ẩn z(x,y) ?tìm dz(x0,y0)

B1: cho xo và y0 thay PT đầu tìm z=?

B2:vi phân 2 lần theo 2 ẩn x và y , chuyển vế theo (…z’x = …dx) và (…z’y = …dy)

B3:thay hệ số đã tìm ở B1 => z’x= ,z’y=

B4: vậy dz = z’x + z’y = adx + bdy (a,b є |R)

b) VD: cho hàm 3x3 + 2y3 + z3 = (x + y)z (*)xác dịnh hàm ẩn z(x;y). tính dz(-1;1)?

B1: thay x=-1 và y=1 vào PT (*) ta có z= 1.

B2:vi phân theo biến x =>9x2dx + 3z2 .z’x = zdx + (x + y)z’x

=>B3: z’x =x+y-3z29x2-z dx= -38 dx

Tương tự => z’y = -58 dy

B4: vậy dz(-1;1) = z’x +z’y = -3/8 dx – 5/8 dy là kết quả cần tìm.

7.          a)Cho hàm số y=f(x) xđ { x=x(t)                tìm f’(x) và f’’(x) ?

             y=y(t)   

    => f ’(x) = y'(t)x'(t)    => f ‘‘(x) = df'(x)x'(t)  Lưu ý: chỉ đạo hàm theo biến t.
    b)VD: cho f(x) { y= t5 -5t và x= t3 + 3t }
    ta có f‘(x)= 5t4-53t2+3  => f‘‘(x)= 532tt2+1

8.          a)Tính tích phân xác định:

-Các PP chính: thêm bớt, đổi biến, đặt ẩn lượng giác (đọc tham khảo GT I Trần Bình J )

-Cần học các CT đúc kết sách Toán học Cao Cấp 2: (g)(k)tr208-209, (m)(n)(o) tr210, (b)212, (e)(f)213-214, (b)215, (f)217 đọc kĩ “chú ý” –chỉ dùng đổi biến, (h)219, (k)220 nhớ CT In=… và I1= , loại III và IV 223, lượng giác tr229- ưu tiên đổi biến, “thường dùng” 231, (b)(c)232, (d)233 – thêm cách(h)219. Tóm lược chương 6, ôn lại phần ghi ở trên(chép lại CT theo trí nhớ khoảng tối đa 30 phút rồi so sánh).

9.          Tính độ dài, diện tích , thể tích(Trần Bình, BT Giải Tích I, trang 351 đến 355):

Lưu ý: 4 phần – để dễ nhớ mỗi phần nên lấy 1 -> 2 CT làm chuẩn do có tính lặp lại.

10.     a)ứng dụng vi phân tính gần đúng:

B1: đặt biểu thức A = f(x;y) với {x=xo+ ∆xy=yo+ ∆y

B2: ứng dụng CT vi phân : f(x,y)= f(xo,yo) + ∆x.dfx(xo,yo)+  ∆y.dfy(xo,yo) ,thay số

b) VD: tính A = (1,04)2+(2,02)3+ 7 .?

giải: B1: đặt A = x2+y3+7 =f(x,y) với {x=xo+ ∆xy=yo+ ∆yvới  {xo=1; ∆x=0,04yo=2; ∆y=0,02

        B2: ứng dụng CT vi phân f(x,y)= f(xo,yo) + ∆x.dfx(xo,yo)+  ∆y.dfy(xo,yo)

dfx = .... , dfy = .....

(thay số)=> A = ................................... = 4 + 0,01 + 0,03= 4,04

11.     a)Tìm giới hạn dùng tích phân:

BT đọc thêm: Trần Bình,BTGT 1 phần 103 trang 336 câu 1→5.

Trình tự : tìm nhân tử biến thiên chung i/n, viết về dạng i/n[(xích ma) n/i=1]f(i), phần tổng tìm dạng hàm f tương ứng.

12.     a)Xđ giới hạn loại 1 hoặc 2 :

{limx→xo+f(x)=A

limx→xo-f(x)=B∀A,B=const gián đoạn loại 1 nếu A ≠ B hoặcA = B ≠ f(xo)

Các trường hợp khác chỉ cần ∃1 lim = ±∞ kết luận loại 2.

13.     a)Tìm tiệm cận hàm một biến và nhiều biến:

-hàm 1 biến làm như THPT: ngang và đứng(bậc 1/1), xiên(bậc 2/1), ngang(bậc n/n+1).

-hàm nhiều biến:

{limt→tox(t)=a  ;limt→toy(t)=∞  =>x=a là tiệm cận đứng.
{limt→tox(t)=∞ ;limt→toy(t)=b  =>y=b là tiệm cận ngang.
{limt→tox(t)=∞  và limt→toy(t)=∞  =>và {limt→toy(t)/x(t)=c ;limt→toy(t)-cx(t)=d  

=>y=cx+d là tiệm cận xiên.

14.     a)Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng:

B1: tìm điểm x0 khiến mẫu số = 0 hoặc biểu thức ko xác địnhóđiểm bất thường.

B2: CT: abf(x)=acf(x)+cbf(x) với x0∈[a;c]

B3: xét hội tụ, phân kì của cả 2 tích phân con.

b)VD: A = 0(tích phân)+∞ sinx/[căn bậc 3của x] xét sự hội tụ ?

ta có A =  0(tích phân)1 sinx/[căn bậc 3của x] +1(tích phân)+∞ sinx/[căn bậc 3của x] = A1 + A2 ,có điểm bất thường là x=0

xét A1 , limx→0sinx/[căn bậc 3của x] =limx→0 x/[căn bậc 3 của x]=0 => A1 hội tụ (1)

xét A2 , do  limx→+∞sinx/[căn bậc 3của x] =0 hội tụ nên A2 = 1(tích phân)+∞ sinx/[căn bậc 3của x] hội tụ (2)

từ (1) và (2) => kết luận…

15.     a)CM a(x) và b(x) là 2 vô cùng bé tỉ lệ k (k є R) và tìm LIM:

- Nhớ các CT cơ bản vd: limx->0ex -1x(*)= 1 limx->0arctan xx = 1 limn→∞ (1+1n)n= e                              limx→0 (ln⁡(x+1)x) = 1  … (Toán Học CC tr 93).

- Khai triển Taylor (trang 108, Trần Bình, BTGT 1)

  -L’’Hôspital, bỏ VCB bậc cao, bỏ VCL bậc thấp,… (trang 156, BTGT 1)

- axf(t)dt=f(x)- f(a)  ∀a∈R

b) cho α(x)=ex2 và β(x)= e-(1+x)1x .CM 2 VCB bậc tương đương khi x->0?

Xét β(x)= e-(1+x)1x = e-e1xln⁡(1+x) = -e( eln⁡(1+x)x -1-1) ,áp dụng (*)

=> β(x)= -e( ln (1+x) x-1)  (khai triển Taylor khi x->0 )

=> β(x)= -e( [0+x- x2+ ⍬(x2)x]/2-1 ) = ex2 = α(x) => limx→0β(x)/α(x)=1=> kết luận…

16.     a) Cho hàm số f = u(x) v(x) , tìm f(n)(x)?

Dùng CT =(xích ma)k=0,nC(k,n)u(mũ)kv(mũ)n-k  _ Quy tắc Lepnit_

Lưu ý :  Nên chọn u là hàm đa thức có bậc nhỏ nhất.

              Tính chất tuần tự của v(x) khi đạo hàm n lần.

  b) VD: f(x)= (x2 + 2)sin(x + π2) . tìm f(53)(0) ?

Giải : ta có u=x2 + 2 => u’ = 2x => u’’ = 2 ; u(n) = 0  ∀ n ≥ 3

               v=sin(x + π/2) => v(m)= sin(x + π/2 + mπ/2) =0 khi m=2k+1

vậy f(53)(x)= C(k.53)ukv53-k= C(0,53)(x2 + 2) sin(x + π/2+53π/2) +C(1,53)2x sin(x + π/2+26/π)+ C(2,53)2 sin(x + π/2+51π/2) + 0

=> f(53)(0)= 53 . 2. 0 .1  + 0 = 0 =>kết luận...