Nghịch lý về quan hệ của các tên gọi1(Theo ý nghĩa của Carnap) hay là nghịch lý về các ngữ cảnh không cùng ngoại diện của B. Russell

Nghịch lý về quan hệ của các tên gọi (Theo ý nghĩa của Carnap) hay là nghịch lý về các ngữ cảnh không cùng ngoại diện của B. Russell:

(a) Nam muốn biết phải chăng Obama là tổng thống đương nhiệm của nước Mỹ.

Mệnh đề trên đúng vì "Obama" và "tổng thống đương nhiệm của nước Mỹ" cùng một chiếu vật (referent). Và câu dưới đây đúng vì nó phản ánh qui luật đồng nhất:

(b) Obama là tổng thống đương nhiệm của nước Mỹ.

Theo nguyên tắc có thể thay thế các tên gọi cùng trỏ một đối tượng, trong câu (a) ta thay "tổng thống đương nhiệm của nước Mỹ" bằng "Obama", ta sẽ đi tới một câu đúng về nguyên tắc:

(c) Nam muốn biết phải chăng Obama là Obama.

Nhưng câu trên sai vì không còn là câu (a) nữa: Nam không muốn biết qui luật đồng nhất có đúng trong một trường hợp riêng hay không. Vậy thì chúng ta đi tới một nghịch lý: Câu (c) là đúng mà cũng là sai.

Thế là không phải rằng trong mọi ngữ cảnh đều có thể thay thế một biểu thức bằng một biểu thức đồng nhất với nó về chiếu vật mà không làm thay đổi giá trị chân lý của mệnh đề.

Ví dụ tương tự về mệnh đề tình thái:

9 là cần thiết để lớn hơn 7

Số hành tinh trong Thái dương hệ là 9

Vậy áp dụng nguyên tắc c) của Carnap, các biểu thức cùng chỉ một đối tượng thay thế lẫn nhau được, ta suy ra:
Số hành tinh trong Thái dương hệ là cần thiết để lớn hơn 7.

Ta thấy (3) sai.

Nhóm khó khăn khác: những nghịch lý liên quan tới các tên rỗng.

Năm 1905, trong bài On Denoting, B. Russell đưa ra câu: The King of France is bald (Ông vua [hiện nay] của nước Pháp thì hói đầu). Câu này có tiền giả định là "hiện có một ông vua nước Pháp". Tiền giả định này có thực sự tồn tại không? Nếu nó không tồn tại thì câu khẳng định này nói điều gì? Trong đời thường, chúng ta cũng gặp hàng loạt sự miêu tả mà không thể biết được là có đối tượng nào tồn tại như tên gọi trong miêu tả đó hay không: "Thượng đế", "Phù Đổng thiên vương", "Thạch Sanh", "núi vàng"...

Nếu cho rằng mỗi miêu tả có hình thức của một tên gọi đều biểu thị một cái gì đó thì sẽ gặp khó khăn sau đây: Đem phủ định câu của Russell thì câu The King of France isn't bald vẫn có tiền giả định là "hiện có một ông vua nước Pháp". Vậy câu này cũng giống như câu khẳng định của nó không biết là nhận giá trị gì.

Người ta coi là cả hai câu đều không có giá trị chân lí đúng hay sai. Ở đây nguyên lý bài trung đã bị vi phạm.